Углы, вектора и нагрузки
или
Зачем альпинисту нужна тригонометрия

Про какие углы ты мне тут рассказываешь? Мне-то это зачем? – обычный ответ, который я слышу, когда объясняю случайному коллеге про очень важные вещи в промышленном альпинизме… про сложение векторов и тригонометрию.

Как ни странно, но тригонометрия очень важна в промальпе.Только в этой тригонометрии оперируют не отрезками, а векторами… заумно объясняю)))) Попробую проще.

Суть в этой заморочки в том, что при одинаковых условиях (весе груза или альпиниста, прочности анкерных точек и веревок) но разных углах между веревками, развитие ситуации может быть очень разным.

Да, да… анкерные точки должны выдерживать 22 килоньютона, должны быть сертифицированы… Вы это на старом фонде Санкт-Петербурга мне расскажите, где там что сертифицировано. Порой вязаться приходиться за весьма подозрительные конструкции, потому как не к чему более.

Так вот, при одних углах такие несертифицированные точки могут спокойно держать вес альпиниста и отрабатывать нагрузку срыва, а при других – просто разрушиться от веса человека. Почему?

Всё снаряжение альпиниста рассчитано на определенное число килоньютонов, которые для упрощения переводят в килограммы. Но это не правильно. Килоньютон – это единица измерения силы, а килограмм – единица измерения массы. Масса всегда постоянная у одного и того же объекта, а сила, с которой эта масса влияет на наше снаряжение и веревки, зависит от множества факторов. 25 килоньютонов условно равны 2500 килограмм … Это если эти 2500 килограмм находятся в покое и висят на веревке, которая не отклоняется от свободного отвеса ничем. Идеальные условия.(ссылка на первоисточник статьи https://omega-alp.ru)

Стоит чихнуть рядом и 2500 килограмм дадут нагрузку, скажем, уже в 25,5 килоньютонов. Стоит качнуть такую массу и нагрузка на веревки еще сильнее увеличится. Это называется динамическая нагрузка. Про неё ни в коем случае не стоит забывать, но рассмотрим мы ее в другой статье (Вот в этой). А пока мы не чихаем и не качаемся, и рассуждаем об углах.

Дело все в том, что вектора нагрузки могут сходиться под разными углами… Проще то, как объяснить. В общем, в альпинизме все нагрузки имеют направление, это направление натянутой веревки. Начало этого направления – анкерная точка или конструкция, за которую эта веревка привязана. Конечная точка – это груз или альпинист.

На практике не всегда можно завязать веревки точно напротив вывеса. Почти всегда необходимо отвести их в сторону. Делается это оттяжкой, которая оттягивает рабочие веревки в сторону. И рабочие веревки и оттяжка сходятся под каким-то углом. Вот от этого-то угла зависит жизнь, здоровье и благосостояние промышленного альпиниста.

Направленная нагрузка в математике представляется вектором. Вектор - это отрезок определенной длины и имеющий определенное направление. Вектором можно представить оттяжку, основные веревки. Вектором можно представить груз или альпиниста. Он же тянет веревку с какой- то силой и в каком-то направлении.

Любой вектор можно разложить на две составляющие. Составляющие – это тоже вектора, только угол между ними 90 градусов, прямой. Одна составляющая тянет перпендикулярно фасаду. Другая – параллельно. Т.е. одна сила – это вес альпиниста или груза, а другая – это сила, с которой этот груз или альпиниста нужно тащить в сторону.

Составляющих две, а точка, куда они приходятся, одна. И одна из составляющих – вес альпиниста или груза. Поэтому может сложиться такая ситуация, что массой 100 килограмм мы прикладываем к не очень надежной конструкции нагрузку условно равную, скажем, 500 килограмм. И это не учитывая рывки, или срыв с фактором 1. Теперь страшно должно стать.))))

Интересный случай наступает, когда между ветвями Y навески или основными веревками и оттяжкой образуется угол более 120 градусов. При угле 0 градусов – нагрузка на каждую точку 50% от веса груза или альпиниста. При угле равном 120 градусам – 100% приходится уже на каждую точку. Но если угол больше 120 градусов, то на каждую точку приходится нагрузка больше веса груза или альпиниста. Чем ближе этот угол к 180 градусам, тем больше превышение.

Этим случаем объясняется опасность навесной переправы. Когда нужно набить, натянуть веревку под потолком и работать с неё. Мало того, что веревка натянута и уже точки анкерные нагружены, так тут еще эта тригонометрия …

Различные варианты распределения нагрузки можно изучить на рисунке.

Обратите внимание на самый нижний случай! Представьте что будет, если угол развернуть до 180 градусов?

Отвечу сразу, сила, воздействующая на анкерные точки будет бесконечной величиной!!! В реальности этого не происходит, ведь не бывает совершенно нерастяжимых верёвок и тросов, соответственно, какой-то прогиб будет обязательно. И угол будет всегда чуть меньше 180 градусов.(ссылка на первоисточник статьи https://omega-alp.ru)

И что еще очень важно! На верёвку приходится удвоенная разрывная нагрузка! Это хорошо видно на картинке, натяжение приходит с двух сторон.

Ну и что, веревки две тонны держат,- скажете Вы. А если необходимо переместить груз заведомо больший чем 50-100 килограмм по таким веревочным трассам, скажем, 180 килограмм. Получается работа на пределе прочности веревок, что не допустимо. А выдержат ли анкерные точки или конструкции, к которым эти веревки привязаны такие «180 кг груза». Здесь я специально взял цифру 180, так как 200 килограмм попросту оборвут веревки, держащие 2.5 тонны. Вот такой парадокс получается.

Это критично, например, при работе на каком нибудь длинном амбаре, где для закрепления доступны только слуховые окна на торцах. Если завеска происходит через организацию перил вдоль конька (Гибкой Анкерной Линии ГАЛ), то при вывесе легко получить нагрузку на перильную верёвку, далеко уходящую за пределы прочности элементов завески!!! Даже без рывковых усилий.

Теперь о тригонометрии. Тригонометрия – это раздел математики посвященный углам и треугольникам.А до этого момента мы как раз про углы и говорили.

Есть в злосчастной математике так же раздел посвященный векторам, но нам оттуда нужен будет лишь метод графического сложения векторов. Звучит страшно заумно, но по сути все очень просто там. Суть этого метода в том, что вектора можно параллельно смещать и с помощью них образовывать треугольник. Проще на картинке показать.

Вот она задачка о двух разнесенных анкерных точках. На её примере и посмотрим, как все считается.
Сдвинем наши вектора, параллельно их смещая, так, чтобы направление их (как по компасу) не изменилось. Необходимо из них собрать треугольник. Вот такой.

На рисунке показано, что вектор С является суммой векторов А и В. На первой картинке это понятно по смыслу, а на второй – векторами образован треугольник, который можно рассчитать. В этом и заключается метод графического сложения.

Нам нужно сложить два вектора. Параллельно сдвигаем их так, чтобы конец одного упирался в начало другого. Получается две стороны треугольника. Третья сторона и есть результат сложения наших векторов. Начало – это начало, а конец – это конец.

Проверим значения на картинке, где были показаны странные 1000%. Поэтому вектора А и В будем считать равными.
Если вектор А равен вектору В то треугольник у нас равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике два угла равны.

Мы можем найти угол β, что в его вершине.

β = 180-α

Теперь определим два оставшихся угла γ и τ. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам. Эти два угла равны, значит

(180- β)/2

Вектор С нам известен. Это наш вес или вес груза.

Дальше два пути. Первый путь – найти в интернете калькулятор треугольника и рассчитать неизвестные стороны, подставляя в него углы и значения векторов.(ссылка на первоисточник статьи https://omega-alp.ru)

Второй – рассчитать все самим, что мы и сделаем.

Способов решения треугольников несколько. Это вы сами поищите во всемирной сети или школьных учебниках.

В нашем случае мы используем метод «два угла и сторона между ними».
Известная сторона – вектор С, два угла это γ и τ. Они равны.

Необходимо вспомнить, или найти, теорему синусов. Это одно из основных тригонометрических тождеств. Оно гласит, что отношения противолежащей углу стороны и синуса этого угла в треугольнике равны для всех трех его углов и сторон..

В нашем случае это будет выглядеть так

Вектор В/sin γ=вектор С/ sin β=вектор А/ sin τ

Из этого тождества можно легко получить формулы нужных нам сторон.

Вектор А=вектор С·(sin γ/ sin β)

Вектор В = вектор С·(sin τ / sin β)

Согласно условиям, углы равны и вектора А и В равны. Возьмем вектор С равным 100 килоньютонам, для наглядности. А угол между векторами 175 градусов. Надо же проверить эти подозрительные 1000%.

180 -175=5

(180-5)/2=87,5

Sin5=0,0871

sin87,5=0,999

(0,999/0,0871)·100=1147 килоньютонов

Не врет картинка значит!!!

Еще один практический пример применения тригонометрии векторов в альпинизме это задача подъёма груза в окно.

Как эта задача обычно выполняется? Организуется базовые концы, которые выносят за край кровли, фасада блок-ролик, или несколько блочков. Веревкой тянут груз через этот блок. Этот блок-ролик является направляющим и не дает прироста в силе. Бывают, конечно и другие варианты, но мы рассмотрим именно этот.(ссылка на первоисточник статьи https://omega-alp.ru)

Исходные данные:
Высота до блока 50 метров.
Расстояние от фасада до места, откуда тянем – 50 метров.
Вес груза 200 кг.

Вопросы:
Какова нагрузка на блок (или на анкерную точку)?
Сколько веревки нужно для подъёма?

Набросаем схемку на бумаге.

Точка А – фундамент здания
Точка В –блок.
Точка С – место на земле откуда тянем груз.
Высота от земли до блока известна. Это один катет прямоугольного треугольника. Обозначим его АВ. Он у нас равен 50 метрам.
Расстояние от фасада до места, откуда тянем - другойкатет этого же прямоугольного треугольника. Обозначим его АС. Он у нас равен 50 метрам.
Гипотенуза этого треугольника ВС. Пока неизвестна.

Что мы можем узнать с помощью этих цифр? Угол, под которым мы будем тянуть груз относительно фасада здания и минимальную длину тяговой веревки.

Начнем с простого. Сколько тяговой веревки в метрах надо?

АВ*АВ+АС*АС=ВС*ВС

Теорема Пифагора из школы, кто забыл.
Нам нужно найти значение ВС

Берем квадратный корень из (АВ*АВ+АС*АС)

50*50+50*50=2500+2500=5000

Корень из 5000 будет 70.7 метра.

71 если грубо.

Сколько веревки надо?
50+71=121 метр + запас на узлы+ запас на провис … 130 где-то выйдет минимум.

Так, стоп. А как узнать угол, под которым тянем груз? С транспортиром вывешивать что ли?
Все просто.

Найти можно двумя способами. Через синус и через косинус.

Синус – это отношение противолежащего к углу катета к гипотенузе. В нашем случае АВ/ВС.
Косинус – это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. В нашем случае АС/ВС.

50/71=0,7

что один способ, что второй в нашем случае одинаковы..

И что дают нам эти 0.7? Синус и косинус угла постоянны, и не зависят от длины катетов и гипотенузы, но зависят от их отношения. То есть каким бы ни был треугольник, большим или маленьким, значение синуса и косинуса для угла будут постоянны. Заходим в интернет и смотрим, какому углу значение синуса или косинуса 0.7 соответствует. (А раньше по таблицам Брадиса считали)

Получаем ответ 45 градусов.

Теперь считаем нагрузки.

Расчет делается так:

Определяем вектора.

Вектор А – груз весом 200 килограмм тянет блок вниз, параллельно фасаду, перпендикулярно земле. Отвес, проще говоря.

Вектор В – альпинисты дружной стайкой (или полиспастом, но это не важно в данной задаче) тянут груз за веревку проходящую через блок наверху. Вес они хотят поднять 200 килограмм, блок у нас просто направляющий, прибавки к силе не дает (это другая тема, смотрите статью про полиспасты).

Вектор С – некая сила направленная от анкерной точки к блоку, или наоборот.

Нам известен угол между векторами А и В и равен он 45 градусов.

Известны их значения. Вектор А =200 кг = 2 килоньютона, вектор В=200 кг= 2 килоньютона. Вектор С нам нужно найти.

Параллельным смещением векторов построим треугольник. Вот такой.

Нам нужно найти вектор С, который образуется сложением векторов А и В. Вектора А и В равны. Это значит, мы можем найти все углы нашего треугольника.

β = 180-α.

180-45=135

Остальные два угла равны 22,5 градуса.

Сумма всех углов в треугольнике 180 градусов. Один из них 135. Два других равны между собой.

180 – 135= 45

45/2=22,5

Как можем найти вектор С. Способов минимум 3.
- сторона и два угла
- две стороны и угол напротив одной из них
- две стороны и угол между ними

Через синусы мы уже решали задачку (сторона и два угла). Решим ее через косинусы, для разнообразия. Это способ «две стороны и угол напротив одной из них»

Есть в тригонометрии ещё основное тождество, это теорема косинусов. Вот так оно выглядит.

С*с=а*а+в*в-2*а*в*cos γ

Нам нужен один угол и две стороны. Угол у нас β, равен 135 градусов.

Стороны - вектора А и В. Они равны между собой и равны 200 килоньютонам. Так то, если учесть еще и динамические рывки, нагрузка больше будет. Мы про это не забываем, но сейчас считаем что условия идеальные.(ссылка на первоисточник статьи https://omega-alp.ru)

Cos 135=-0,707

2*2+2*2-2*2*2*(-0.707)=4+4-8*(-0,707)=13,656

Корень квадратный из 13,656 будет искомый вектор С. Равен он 3,695 килоньютонов, что условно равно 369,5 килограмм.

Ого! Поднимаем, значит, 200 кг, а трубу, за которую базовую веревку привязали, ломает 370 кг. Это мы еще рывки не учли. Там нагрузка в пике может 300%-400% достигать.(ссылка на исследования).

Собственно для чего нам такая высшая математика нужна при подъеме рояля в окно. Чтобы определить, чем может закончиться такая работа как для нас так и для рояля, и как этого не допустить. Ведь в нашем примере нагрузка на условную трубу в пике, если учитывать еще и динамическую её составляющую, составит 1480 килоньютонов. Условные полторы тонны это не пару сотен килограмм. За антенну точно теперь вязаться не будем.)))

Тем, кто дочитал это всё до конца и не закричал в сердцах «Да кому эта муть нужна??!!» задачка для самостоятельного расчета. Рассчитайте «треугольник смерти».

Это когда одной петлёй соединяются две точки, типа для надежности. Вот так.

Надеюсь, что после этих расчетов у вас отпадет желание так вязаться.

Назаров Максим

2024г.